Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.1
प्रश्न 1.
चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। दाइए कि ∆ABC ≅ ∆ABD है। BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
उत्तर:
∆ABC और ∆ABD में,
AC = AD (दिया है।)
∠CAB = ∠BAD (दिया है।)
और AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से.
∆ABC ≅ ∆ABD
⇒ BC = BD. (∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
प्रश्न 2.
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि-
(i) ∆ABD = ∆BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
उत्तर:
(i) ∆ABD और ∆BAC में,
∠DAB = ∠CBA (दिया है)
AD = BC (दिया है)
और AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ SAS सर्वासमता गुणधर्म से,
∆ABD ≅ ∆ABAC.
(ii) ∵ ∆ABD ≅ ∆BAC
अतः BD = AC.(∵ सशंगसम त्रिभुजों के संत भाग बाबर होते हैं)
(iii) ∵ ∆ABD ≅ ∵ ∆BAC
अत: ∠ARD = ∠BAC.
(∵ सांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
प्रश्न 3.
एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड है (देखिए आकृति)। दशाइए कि CD रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
∆OBC और ∆OAD में.
∠OAD = ∠OBC = 900
BC = DA (दिया है)
∠BOC = ∠AOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ AAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆OBC ≅ ∆OAD
⇒ AO = BO (∵ सांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं।)
⇒ AB का मध्य बिन्दु O है।
अत: रेखाखण्ड CD, AB को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 4.
l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन समानर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेच करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है।
उत्तर:
यहाँ AD || BC (दिया है, l और m समान्तर है)
AB || DC (दिया है. P और q समान्तर है)
अत: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
अब ∆ABC और ∆CDA में,
AB = DC
तथा BC = AD
और AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ SSS सांगसमता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆CDA.
प्रश्न 5.
रेखा l ∠A को समद्विभाजित करती है B और रेखा l पर स्थित कोई बिन्दु है। BP और BQ. ∠A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति) दांडा कि
(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ, अर्थात् बिन्दु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
उत्तर:
(i) ∆APB तथा ∆AQR में,
∠PAB = ∠QAB
(रेका l ∠A को समद्विभाजित करती है)
और ∠APB = ∠AQB = 90 (दिया है।)
तथा AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ AAS सांगसमता गुणधर्म से,
∆APB ≅ ∆AQB.
(ii) ∵ ∆APB = ∆AQB में,
BP = BQ. (∆ सांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बरावर होते हैं)
अत: विन्दु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
प्रश्न 6.
आकृति में, AC = AE, AB = AD और ∠BAD = ∠EAC है। दाइए कि BC = DE है।
उत्तर:
∆ABC और ∆ADE में,
AB = AD (दिया है।)
AC = AE (दिया है)
∠BAD = ∠EAC (दिया है)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆ABC ≅ ∆ADE
⇒ BC = DE (∵ सर्वागमस विभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
प्रश्न 7.
AB एक रेखाखण्ड है और इसका मध्य-बिन्दु है। D और E रेखाखण्ड AB के एकही और स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ∠ABE और ∠EPA = ∠DPB है (देखिए आकृति) दर्शाइए कि-
(i) ∆DAP = ∆EBP
(ii) AD = BE.
उत्तर:
(i) दिया है. p रेखाखण्ड AB का मध्य विन्दु है।
अत: AP = PB …….. (1)
दिया है, ∠EPA = ∠DPB
दोनों तरफ ∠EPD जोड़ने पर,
∠EPA + ∠EPD = ∠EPD + ∠DPB
∠DPA = ∠EPB …….. (2)
∆DAP और ∆EBP मैं.
∠DAP – ∠EBP (दिया है।)
AP = PB (समी. (1) से)
∠DPA = ∠EPB (समी. (2) से)
∴ AAS सांगसमता गुणधर्म से,
∆DAP ≅ ∆EBP.
(ii) ∵ ∆DAP ≅ ∆EBP,
AD = BE. (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण है, M कर्ण AB का मध्य-विन्दु है। C को M से मिलाकर D इस प्रकार बहाया गया है कि DM = CM है। बिन्दुको बिन्दु से मिला दिया जाता है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि-
(i) ∆AMC ≅ ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM = \(\frac{1}{2}\) AB.
उत्तर:
(i) ∆AMC और ∆BMD में,
AM = BM (M रेखा AB का मध्य बिन्दु है)
CM = DM
∠AMC = ∠DMB (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ SAS सांगसमता गुणधर्म से,
∆AMC ≅ ∆BMD.
(ii) यदि ∆AMC ≅ ∆BMD
⇒ BD = AC ……… (1)
और ∠BDM = ∠ACM (∵ सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते है)
अतः BD || CA
ते ∠CBD + ∠BCA = 180 (∵ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग 180% होता है।)
⇒ ∠CBD + 90 = 180 ⇒ ∠DBC = 90′.
(iii) ∆DBC और ∆ACB में,
∠DBC = ∠ACB = 90 (प्रत्येक 90)
BC = BC (उभयनिष्ठ)
और BD = AC समी. (1) से]
∴ SAS सर्वागसमता गुणधर्म से,
∆DBC ≅ ∆ACB.
∆DBC ≅ ∆ACB ⇒ AB = CD
⇒ \(\frac{1}{2}\) AB = \(\frac{1}{2}\)CD
∴ \(\frac{1}{2}\)AB = CM. इति सिद्धम्