Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5
प्रश्न 1.
आकृति में, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार है कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60 है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
चित्रानुसार, ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
= 60° + 30° = 90°
हम जानते हैं कि केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर भने कोण का दो गुना होता है।
∠ADC = \(\frac{1}{2}\) ∠AOC = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45°.
प्रश्न 2.
किसी वृत्त को एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घचाप के किसी बिन्दु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∆OAB में,
AB = OA = OB त्रिज्या (दिया है)
∴ ∆AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
अत: इस त्रिभुज का प्रत्येक अन्त:कोण -600
∴ ∠AOB = 60°
∠ACB = \(\frac{1}{2}\) ∠AOR = \(\frac{1}{2}\) + (60°) = 30°
अत: चक्रीव चतुर्भुज ACHD में,
∠ACB + ∠ADB = 180°
⇒ ∠ADB = 180° – 30° = 150°
अत: दौर्ष चाप द्वारा अंतरित कोण = 30°
तथा लघु चाप द्वारा अंतरित कोण = 150°.
प्रश्न 3.
पाट्य-पुस्तक में दी गई आकृति में ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
दोपचाप पर कोई बिन्दुमानकर चक्रीय चतुर्भुज PQRS की रचना की।
∠POR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PSR = 180° – 100° = 80°
हम जानते हैं कि केन्द्र पर बना कोन शेष परिधि पर बने कोण का दो गुना झेता है।
∴ ∠POR = 2∠PSR = 2(80°) = 160°
∆POR में, OP = OR
∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180°
2∠ORP + 160° = 180°
∠OPR = 10°.
प्रश्न 4.
आकृति में, ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो ∠BDC ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∆ABC में,
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
⇒ ∠BAC + 69° + 31° = 180°
∠BAC = 180° – 100° = 80°
∠BDC = ∠BDC = 80°
(एक ही जूतखंड के कोष)
प्रश्न 5.
आकृति में, एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्द AC और BD एक बिन्द E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ∠BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
∆CDE में,
∠CDE + ∠ECD = ∠CED
⇒ ∠CDE + 20° = 130°
⇒ ∠CDE = 110°
अतः ∠BAC = ∠CDE = 110°.
(एक ही वृत्तखंड के कोण)
प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। बदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए।
पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
बोवा CD के लिए,
∠CBD = ∠CAD (समान वृत्तखंट के कोण)
∠CAD = 70°
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
30° + 70° = 100°
तथा ∠BCD + ∠BAD = 180°
∠BCD + 100° = 180°
∠BCD = 80°.
त्रिभुज ABC में,
AB = BC
∴ ∠BCA = ∠CAB
⇒ ∠BCA = 30°
तथा ∠BCD = 80°
⇒ ∠BCA + ∠ACD = 80°
30° + ∠ACD = 80°
⇒ ∠ACD = 50°
⇒ ∠ECD = 50°.
प्रश्न 7.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीषों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
उत्तर:
माना ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण BD तथा AC है जो परस्पर O पर प्रतिचोद करते हैं।
∠BAD = \(\frac{1}{2}\) ∠BOD = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
∠BCD + ∠BAD = 180°
∠BCD = 90°
∠ADC = \(\frac{1}{2}\) ∠AOC = (180°) = 90°
∠ADC + ∠ABC = 180°
90° + ∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∵ चक्रीय चतुर्भुज का प्रत्येक अन्त:कोण 90° है।
अतः यह एक आयत है।
प्रश्न 8.
यदि एक समलंब को असमांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
उत्तर:
माना ARCD एक समलंब है नहीं
AB || CD तथा BC = AD
AM ⊥ CD तथा BN ⊥ CD लाँचा।
∆AMD तथा ∆BNC में,
AD = BC
∠AMD = ∠ENC (रचना, प्रत्येक 90° से)
AM = BN
∴ ∆AMO ≅ ∆BNC (SAS सर्वागसमता से)
∴ ∠ADC = ∠BCD ……. (1)
∠BAD तथा ∠ADC, AD से परावान भुजाएं हैं।
∠BAD + ∠ADC = 180°
∠BAD + ∠BCD = 180° ……. (2) समी (1) से समी]
सिद्ध करता है कि विपरीत कोण सपूरक हैं।
अत: ABCD एक चक्रीव चतुर्भुज है।
प्रश्न 9.
दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते है। B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQ वृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमश: AL प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए है (देखिए आकति) सिद्ध कीजिए कि ∠ACP = ∠QCD
उत्तर:
हम जानते हैं कि एक ही वृत्तण्ड पर बने कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠ACP = ∠ABP ……. (1)
ब ∠QCD = ∠QBD ……. (2)
नषा ∠ABP = ∠QBD ……. (3)
अब, समी. (1), (2) तथा (3) से,
∠ACP = ∠QCD.
प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएं, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
उत्तर:
∆ABC, AB तथा AC को न्यास मानकर वृत्त खींचा सपा दोनों वृत्त परस्पर A तथा D पर प्रतिकोद करते हैं। AD को मिलाया।
माना दोनों वृत्त D पर प्रतिको करते हैं तथा D, BC पर स्थित नहीं है।
∠ADB = 90°
∠ADC = 90°
∠BDC = ∠ADB + ∠ADC.
= 90°+ 90° = 180°
अत: BDC एक सीधी रेखा है तथा हमारी अभिधारणा | गलत है।
अत: D तीसरी भुजा BC पर स्थित है।
प्रश्न 11.
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC है। सिद्ध कीजिए कि
∠CAD = ∠CED है।
उत्तर:
दिया है : उभयनिष्ठ कर्ण AC को व्यास मानकर बनाये गये मृत में दो ∆ABC तथा ∆ADC है।
∴ ∠ADC = ∠ABC = 90°
स्पष्ट रूप से,
∠CAD = ∠CBD.(एक ही खण्ड में स्थित कोण समान होते हैं।)
प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समांतर चतुर्भुज आग्रत होता है।
उत्तर:
माना ABCD एक चक्रीय समांतर गार्भुज है।
∠A + ∠C = 180° ……. (1)
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विपरीत कोग समान होते हैं।
∴ ∠A = ∠C तथा ∠B = ∠D
समी. (1) से, ∠A = ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠A = 180°
⇒ 2∠A = 180°
⇒ ∠A = 90°
इसी प्रकार ABCD का प्रत्येक कोष = 90°
अत: ABCD एक आयत है।