Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = \(\frac{4}{5}\) है, तो tan A का मान है
(i) \(\frac{3}{5}\)
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{4}{3}\)
(iv) \(\frac{5}{3}\)
हल
(ii) \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 2.
यदि sin A = \(\frac{1}{2}\) है तो cos A का मान है
(i) √3
(ii) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(iii) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(iv) 1
हल
(i) √3

प्रश्न 3.
व्यंजक [cosec(75° + θ) – sec(15° – θ) – tan(55° + θ) + cot(35° – θ)] का मान है
(i) -1
(ii) 0
(iii) 1
(iv) \(\frac{3}{2}\)
हल
(ii) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac{a}{b}\) दिया है, तो cos θ बराबर है
(i) \(\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
(ii) \(\frac{b}{a}\)
(iii) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)
(iv) \(\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
हल
(iii) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)

प्रश्न 5.
यदि cos(α + β) = 0 हो, तो sin(α – β) को निम्नलिखित के रूप में बदला जा सकता है-
(i) cos β
(ii) cos 2β
(iii) sin θ
(iv) sin 2α
हल
(ii) cos 2β

प्रश्न 6.
(tan 1° tan 2° tan 3°…tan 89°) का मान है
(i) 0
(ii) 1
(iii) 2
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(ii) 1

प्रश्न 7.
यदि cos 9α = sin α है और 9α < 90° है, तो tan 5α का मान है
(i) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(ii) √3
(iii) 1
(iv) 0
हल
(iii) 1

प्रश्न 8.
यदि ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण C समकोण है, तो cos(A + B) का मान है
(i) 0
(ii) 1
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल
(i) 0

प्रश्न 9.
यदि sin A + sin² A = 1 है, तो व्यंजक (cos² A + cos⁴ A) का मान है
(i) 1
(ii) \(\frac{1}{2}\)
(iii) 2
(iv) 3
हल
(i) 1

प्रश्न 10.
यदि sin α = \(\frac{1}{2}\) और cos β = \(\frac{1}{2}\) दिया है, तो (α + β) का मान है
(i) 0°
(ii) 30°
(iii) 60°
(iv) 90°
हल
(iv) 90°

प्रश्न 11.
व्यंजक [\(\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}\) + sin² 63° + cos 63° sin 27°] का मान है
(i) 3
(ii) 2
(iii) 1
(iv) 0
हल
(ii) 2

प्रश्न 12.
यदि 4tan θ = 3 है, तो \(\left(\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}\right)\) बराबर है।
(i) \(\frac{2}{3}\)
(ii) \(\frac{1}{3}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{3}{4}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 13.
यदि sin θ – cos θ = 0 है, तो (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है
(i) 1
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(\frac{1}{4}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
sin(45° + θ) – cos(45° – θ) बराबर है
(i) 2 cos θ
(ii) 0
(iii) 2 sin θ
(iv) 1
हल
(ii) 0

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
cot A का मान ज्ञात कीजिए, यदि 3 cos A – 4 sin A = 2 cos A + 3 sin A
हल
दिया है, 3 cos A – 4 sin A = 2 cos A + 3 sin A
⇒ 3 cos A – 2 cos A = 3 sin A + 4 sin A
⇒ cos A = 7 sin A
⇒ \(\frac{\cos A}{\sin A}\) = 7
⇒ cot A = 7

प्रश्न 2.
त्रिभुज ABC में यदि AB = BC, ∠B = 90° है तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A
(ii) cos A
हल

∆ABC में, AB = BC तथा ∠B = 90°
∵ AB = BC
∴ ∠A = ∠C = \(\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}\) = 45°
(i) sin A = sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) cos A = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 3.
cot 80° cot 10° – tan 80° tan 10° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
यहाँ, cot 80° cot 10° – tan 80° tan 10°
= cot(90° – 10°) . cot (90° – 80°) – tan 80° tan 10°
= tan 80° tan 10° – tan 80° tan 10°
= 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac{3}{5}\), तो tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल
हम जानते हैं कि

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 6.
cos 80° cos 70° – cos 10° cos 20° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
cos 80° cos 70° – cos 10° cos 20°
= cos 80° cos 70o – cos(90° – 80°) cos(90° – 70°)
= cos 80° cos 70° – sin 80° sin 70° [∵ cos (90° – θ) = cos θ]
= cos(80° + 70° )
= cos 150°
= cos(180° – 30°)
= -cos 30° [∵ cos (180° – θ) = -cos θ]
= \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

प्रश्न 7.
\(\sin ^{2} \theta+\frac{1}{1+\tan ^{2} \theta}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 8.
tan 35° tan 40° tan 45° tan 50° tan 55° का मान ज्ञात कीजिए।
हल
tan 35° tan 40° tan 45° tan 50° tan 55°
= tan (90° – 55°) tan (90° – 50°) tan 45° tan 50° tan 55°
= cot 55° cot 50° tan 45° tan 50° tan 55° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= \(\frac{1}{\tan 55^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 50^{\circ}}\) . 1 · tan 50° . tan 55°
= 1 [∵ cot θ = \(\frac{1}{\tan \theta}\)]

प्रश्न 9.
\(\frac{\sin 72^{\circ}+\cos 72^{\circ}}{\cos 18^{\circ}+\sin 18^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए \(\frac{\sin 48^{\circ}}{\cos 42^{\circ}}+\frac{\cos 48^{\circ}}{\sin 42^{\circ}}=2\)
हल

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए की (1 – sin θ) (1 + sin θ) (1 + tan² θ) = 1
हल

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए tan² θ + cot² θ = sec² θ cosec² θ – 2
हल

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए (cosec A – sin A) (sec A – cos A) (tan A + cot A) = 1
हल

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए \(\frac{\sec ^{2} A}{\cos ^{2} A}-\frac{\tan ^{2} A}{\cot ^{2} A}=1+2 \tan ^{2} A\)
हल

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए

हल

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि

हल

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि (sec θ – tan θ)² = \(\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}\)
हल

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए

हल

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
\(\frac{\sec A-\tan A}{\sec A+\tan A}\) = 1 – 2 sec A tan A + 2tan² A
हल

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए की

हल

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए

हल

प्रश्न 9.
यदि \(\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}+\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha}=4\) हो, तो α का मान ज्ञात कीजिए, जबकी 0° < α < 90°.
हल

प्रश्न 10.
यदि x = r cos θ cos α, y = r sin θ cos α तथा z = r sin α, तो सिद्ध कीजिए की x² + y² + z²
हल
L.H.S. = x² + y² + z²
= (r cos θ cos α)² +(r sin θ cos α)² + (r sin α)²
= r² cos² θ cos² α + r² sin² θ cos² α + r² sin² α
= r² cos² α (cos² θ + sin² θ) + r² sin² α
= r² cos² α . 1 + r² sin² α [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= r² (cos² α + sin² α)
= r² . 1
= r²
= R.H.S.
इति सिद्धम

प्रश्न 11.
यदि tan θ + sin θ = p तथा tan θ – sin θ = q तो सिद्ध कीजिए p² – q² = 4√pq
हल
L.H.S. = p² – q²
= (p + q) (p – q)
= (tan θ + sin θ + tan θ – sin θ) (tan θ + sin θ – tan θ + sin θ)
= 2 tan θ . 2 sin θ
= 4 tan θ sin θ

प्रश्न 12.
यदि tan α = n tan β, sin α = m sin β तो सिद्ध कीजिए कि \(\cos ^{2} \alpha=\frac{m^{2}-1}{n^{2}-1}\)
हल

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दी गई आकृति में ABC एक समकोण त्रिभुज है। D, BC का मध्य-बिन्दु है :

दिखादा कि : \(\frac{\tan \theta}{\tan \phi}=\frac{1}{2}\)
हल

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए :

हल

प्रश्न 3.
यदि sin θ = \(\frac{3}{5}\), तो (tan θ + sec θ)² का मान ज्ञात कीजिए।
हल