Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
जिस वक्त सूर्य का उन्नयन कोण 45° था, तब एक स्तम्भ की परछाई 10 m मापी गई। उस स्तम्भ की ऊँचाई थी
(i) 5 m
(ii) 10 m
(iii) 15 m
(iv) 20 m
हल
(ii) 10 m

प्रश्न 2.
10 m ऊँचे मकान के आधार से 10 m दूर स्थित बिन्दु से देखने पर उसकी छत का उन्नयन कोण होगा
(i) 60°
(ii) 45°
(iii) 30°
(iv) 75°
हल
(ii) 45°

प्रश्न 3.
यदि एक वृक्ष के आधार से 15 m दूर स्थित बिन्दु पर उसकी चोटी का उन्नयन कोण 30° बनता है, तो वृक्ष की ऊँचाई होगी।
(i) 15 m
(ii) 30 m
(iii) 15√3 m
(iv) 5√3 m
हल
(iv) 5√3 m

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी समय कोई स्तम्भ की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई की √3 गुनी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
हल
माना स्तम्भ AB की ऊँचाई h है, तब
छाया BC की लम्बाई = h√3
तथा उन्नयन कोण ∠ACB = θ

समकोण ∆ABC में,
tan θ = \(\frac{A B}{B C}=\frac{h}{h \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan 30°
⇒ θ = 30°
अत: सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।

प्रश्न 2.
एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर भूमि से जा लगा तथा भूमि से 45° का कोण बनाता है। यदि वृक्ष की जड़ से उस बिन्दु जहाँ वृक्ष का शिखर भूमि को छूता है, की दूरी 6 m है, तो वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना A वृक्ष ABC का पाद है तथा BC वृक्ष का टूटा हुआ भाग है तथा C पेड़ का ऊपरी सिरा है।
तब ∠ACB = 45°
तथा ∠BAC = 90°
प्रश्नानुसार, AC = 6 m
समकोण ∆BAC में, tan 45° = \(\frac{A B}{A C}\)
⇒ AB = AC tan 45° = 6 × 1 = 6 m
पुनः समकोण ∆BAC में, cos 45° = \(\frac{A C}{B C}\)
⇒ BC = AC sec 45° = 6√2
∴ पेड़ की कुल माप = AB + BC = 6 + 6√2 = 6(√2 + 1) m

प्रश्न 3.
एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण उस मीनार के आधार से क्षैतिज तल पर 40 m दूरी पर स्थित बिन्दु से देखने पर 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB मीनार तथा बिन्दु C क्षैतिज तल पर मीनार के आधार से 40 m दूर स्थित बिन्दु है।
तब ∠ACB = 45°
समकोण ∆ABC में, tan 45° = \(\frac{A B}{B C}\)
⇒ 1 = \(\frac{A B}{40}\)
⇒ AB = 40 m
अत: मीनार की ऊँचाई 40 m है।

प्रश्न 4.
एक मीनार क्षैतिज समतल पर ऊर्ध्वाधरतः खड़ी है। यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° और मीनार की छाया की लम्बाई 45 m हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ ऊर्ध्वाधर मीनार तथा QR इसकी छाया है।
माना मीनार की ऊँचाई h है।
सूर्य का उन्नयन कोण, ∠PRQ = 30°

तब समकोण ∆PQR में,
tan 30° = \(\frac{P Q}{R Q}\)
⇒ PQ = RQ tan 30°
⇒ h = 45 × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = 15√3 m

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक मीनार के आधार से एक सरल रेखा में 100 m तथा 150 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण पूरक कोण है। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 50√6 m है।
हल
AB एक मीनार है जिसकी ऊँचाई h m है। इसके आधार B से 100 m तथा 150 m दूरी पर दो बिन्दु C और D हैं जहाँ पर शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः θ तथा (90° – θ) हैं।


अत: मीनार की ऊँचाई = 50√6 m
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
भूमितल पर दो बिन्दु A तथा B किसी मीनार के एक ही ओर स्थित हैं। यदि A तथा B पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 30° तथा 60° हैं। यदि मीनार की ऊँचाई 150 m है, तो A तथा B के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ एक मीनार है जिसकी ऊँचाई 150 m है। मीनार के पाद Q से जाने वाली क्षैतिज रेखा पर दो बिन्दु A और B हैं, जहाँ से मीनार की चोटी P से उन्नयन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं।

प्रश्न 3.
भूमि पर किसी बिन्दु से एक हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 s की उड़ान के पश्चात् उन्नयन कोण बदलकर 30° हो जाता है। यदि हवाई जहाज 1500√3 m की नियत ऊँचाई पर उड़ रहा है, तो हवाई जहाज की चाल किमी प्रति घण्टा में ज्ञात कीजिए।
हल
माना हवाई जहाज 15 सेकण्ड में C से D तक पहुँच जाता है।
समकोण ∆ABC में,

⇒ CD + BC = 1500√3 × √3 = 4500
⇒ CD + 1500 = 4500 [∵ BC = 1500 m]
⇒ CD = 4500 – 1500 = 3000 m
प्रश्नानुसार, हवाई जहाज को 3000 m जाने में 15 s लगते हैं।
अतः चाल = \(\frac{3000}{15}\) = 200 m/s
= \(\frac{200 \times 60 \times 60}{1000}\)
= 720 km/h
अतः हवाई जहाज की चाल = 720 km/h

प्रश्न 4.
एक मीनार के शिखर से 50 m ऊँचे भवन के शिखर तथा पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं। मीनार की ऊँचाई तथा भवन और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB भवन तथा CD मीनार है।
भवन तथा मीनार के बीच क्षैतिज दूरी BC = x (माना)
तथा मीनार की ऊँचाई CD = y (माना)
DX क्षैतिज रेखा है तथा AE, CD पर लम्ब है।
प्रश्नानुसार, ∠ADX = 30°
⇒ ∠DAE = 30° तथा ∠BDX = 60°
⇒ ∠DBC = 60°

समकोण ∆ADE में, cot 30° = \(\frac{A E}{E D}\)
√3 = \(\frac{x}{C D-C E}\) (∵ AE = BC = x)
x = √3 (CD – AB) (∵ EC = AB)
x = √3(y – 50) ……(1)
पुनः समकोण ∆BCD में, cot 60° = \(\frac{B C}{C D}\)
अत: मीनार की ऊँचाई 75 m तथा मीनार व भवन के बीच क्षैतिज दूरी 25√3 m

प्रश्न 5.
एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना PQ नदी की चौड़ाई है। माना A नदी के पुल का एक बिन्दु है अर्थात् AB = 3 m
A से नदी के सम्मुख किनारों P और Q अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° हैं।

समकोण ∆ABQ में,
tan 45° = \(\frac{A B}{B Q}\)
⇒ 1 = \(\frac{3}{B Q}\)
⇒ BQ = 3 m
पुनः समकोण ∆ABP में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B P}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{B P}\)
⇒ BP = 3√3 m
अतः नदी की चौड़ाई = PQ = BP + BQ
= (3√3 + 3) m
= 3(√3 + 1) m
= 3(1.732 + 1) m
= 3(2.732) m
= 8.196 m
≅ 8.20 m

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी बिन्दु पर एक मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tangent) \(\frac{7}{4}\) है। मीनार की ओर 25 m चलने पर उन्नयन कोण की स्पर्शज्या हो जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना मीनार PQ के धरातल पर बिन्दु A से 25 m दूर (मीनार की ओर) बिन्दु B है।
यदि ∠PAB = α तथा ∠PBQ = β
तब प्रश्नानुसार, tan α = \(\frac{7}{4}\) व tan β = \(\frac{7}{3}\)
माना मीनार की ऊँचाई h है तो

अत: मीनार की ऊँचाई 175 m है।

प्रश्न 2.
एक व्यक्ति नदी के किनारे खड़े होकर देखता है कि नदी के दूसरे किनारे पर एक पेड़ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। जब वह किनारे से 21 m पीछे की ओर चलता है, तो वह उन्नयन कोण 30° पाता है। पेड़ की ऊँचाई तथा नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB पेड़ व BC नदी है। माना AB = h m व BC = x m
ज्ञात है ∠ACB = 60°
यदि किनारे C से 20 मीटर पीछे की ओर बिन्दु D है।
तब ∠ADB = 30°
समकोण ∆ABC में,
tan 60° = \(\frac{h}{x}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{x}\)
⇒ h = x√3 …….(1)
पुन: समकोण ∆ABD में,
tan 30° = \(\frac{A B}{B D}=\frac{h}{x+20}\) ……(2)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x \sqrt{3}}{x+20}\) [समीकरण (1) से]
⇒ x + 20 = 3x
⇒ 2x = 20
⇒ x = 10
समीकरण (1) से, h = 10√3
अत: पेड़ की ऊँचाई 10√3 m तथा नदी की चौड़ाई 10 m है।

प्रश्न 3.
एक मनुष्य पानी के जहाज की छत जो पानी की सतह से 10 m ऊपर है, पर खड़ा है। वहाँ से पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ की तली का अवनमन कोण 30° है। जहाज से पहाड़ी की दूरी और पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB एक जहाज तथा CD एक पहाड़ी है। पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण ∠CAE = 60°
तथा पहाड़ी की तली का अवनमन कोण ∠EAD = 30° है।
जबकि AE, A से CD पर लम्ब है।
माना पहाड़ी की ऊँचाई h m और जहाज से पहाड़ी की दूरी x m है।
CE = (h – 10) m
समकोण ∆AED में, tan 30° = \(\frac{E D}{A E}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{x}\)
x = 10√3 m [∵ AB = ED = 10 m]
पुनः समकोण ∆CEA में, tan 60° = \(\frac{C E}{A E}\)
⇒ √3 = \(\frac{h-10}{x}\)
⇒ √3 = \(\frac{h-10}{10 \sqrt{3}}\)
⇒ h – 10 = 10 × 3 = 30
⇒ h = 30 + 10 = 40 m
अतः जहाज से पहाड़ी की दूरी 10√3 m तथा पहाड़ी की ऊँचाई 40 m है।

प्रश्न 4.
एक मकान के आधार से 30 m दूरस्थ एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा मकान की छत से उसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मकान तथा मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना AB मकान तथा PQ मीनार है।
तब प्रश्नानुसार, BQ = 30 m,
∠PBQ = 60° तथा ∠PAM = 45°
माना मीनार की ऊँचाई H तथा मकान की ऊँचाई h है।
समकोण ∆PRB में, tan 60° = \(\frac{P Q}{B Q}=\frac{H}{30}\)
⇒ √3 = \(\frac{H}{30}\)
⇒ H = 30√3 m
पुन: समकोण ∆PMA में,
tan 45° = \(\frac{P M}{A M}=\frac{P Q-M Q}{A M}\)
⇒ 1 = \(\frac{H-h}{30}\)
⇒ H – h = 30
⇒ h = H – 30 = 30√3 – 30 = 30(√3 – 1) m
अत: मकान की ऊँचाई 30(√3 – 1) m तथा मीनार की ऊँचाई 303 m है।

प्रश्न 5.
किसी मीनार के आधार से a और b दूरी पर एक ही रेखा में स्थित दो बिन्दुओं क्रमशः A और B से देखने पर मीनार के ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण पूरक पाये जाते हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √ab है।
हल

माना मीनार OC की ऊँचाई = h m तथा मीनार का आधार OA है।
माना आधार पर (एक ही रेखा पर) दो बिन्दु A तथा B इस प्रकार हैं कि
OA = a तथा OB = b
क्योंकि A तथा B पर बनने वाले कोण पूरक हैं।
अत: यदि ∠CAO = θ
तब ∠CBO = 90° – θ
समकोण ∆COA में,

प्रश्न 6.
सड़क के एक ओर स्थित मकान के, सड़क के दूसरी ओर स्थित मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। यदि मकान की ऊँचाई 10 m है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना AB मीनार तथा CD मकान है।
माना BD = x तथा मीनार की ऊँचाई = h m

प्रश्न 7.
एक ऊर्ध्वाधर खम्भा (जो 100 dm से अधिक लम्बा है) दो भागों में बँटा है, जिसमें नीचे का भाग उसकी कुल लम्बाई का \(\frac{1}{3}\) है। यदि खम्भे की जड़ से 40 dm दूर एक स्थान पर उसका ऊपरी भाग कोण α अन्तरित करे (जबकि tan α = \(\frac{1}{2}\)) तो खम्भे की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल

माना उर्ध्वाधर खम्भा AB जिसकी ऊँचाई h है जो दो भागों AC व BC में बँटा है।
जबकि BC = \(\frac{1}{3}\) h
खम्भे की जड़ से 40 dm की दूरी पर बिन्दु D है।
तब ∠ADC = α माना ∠CDB = β
समकोण ∆CBD में,

⇒ 240h – h² = 4800 + 80h
⇒ h² – 160h + 4800 = 0
⇒ h² – 120h – 40h + 4800 = 0
⇒ h(h – 120) – 40(h – 120) = 0
⇒ (h – 120) (h – 40) = 0
⇒ h = 120
⇒ h = 40 जो कि मान्य नहीं है।
खम्भे की लम्बाई = 120 dm

प्रश्न 8.
एक अपूर्ण मन्दिर के आधार से 30 m दूर स्थित किसी बिन्दु से उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मन्दिर कितना ऊँचा और बनाया जाये कि उसी बिन्दु पर उन्नयन कोण 45° हो जाये (दिया है, √3 = 1.732)।
हल
माना बिन्दु D से देखने पर अपूर्ण मन्दिर AB के शिखर B का उन्नयन कोण 30° है।
∠BDA = 30°
माना मन्दिर की ऊँचाई BC बढ़ाने पर उसके शिखर C का उन्नयन कोण 45° हो जाता है।

∴ BC = AC – AB = 30 – 17.32 = 12.68 m
अत: मन्दिर को 1268 m ऊँचाई तक और बनवाना पड़ेगा।

प्रश्न 9.
मीनार PN पर एक स्तम्भ QP गड़ा है। मीनार के आधार N से 40 m की क्षैतिज दूरी पर एक बिन्दु A है। बिन्दु A पर मीनार PN और स्तम्भ QP के द्वारा अन्तरित कोण क्रमशः θ और Φ इस प्रकार हैं कि tan θ = \(\frac{1}{2}\) और tan Φ = \(\frac{1}{3}\) स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल

∴ स्तम्भ PQ की ऊँचाई = QN – PN = 40 – 20 = 20 m

प्रश्न 10.
एक नाव से जो पुल की ओर आ रही है, उस पुल का उन्नयन कोण 30° देखा गया। नाव के उसी चाल से 6 min पश्चात् उन्नयन कोण 60° हो गया। ज्ञात कीजिए नाव को उस पुल तक उसी चाल से पहुँचने में कितना समय और लगेगा?
हल
माना P पुल है और नाव की प्रथम स्थिति A है जहाँ से पुल P का उन्नयन कोण 30° है।
6 m बाद नाव की द्वितीय स्थिति B है जहाँ से पुल का उन्नयन कोण 60° है।

माना AB = x, BQ = y तथा PQ = h
समकोण ∆PBQ में, tan 60° = \(\frac{h}{y}\)
⇒ √3 = \(\frac{h}{y}\)
⇒ h = y√3 …….(1)
समकोण ∆PAQ में, tan 30° = \(\frac{h}{x+y}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+y}\)
⇒ h√3 = x + y …….(2)
समी० (1) से h का मान समी० (2) में रखने पर,
y√3 . √3 = x + y
⇒ 3y = x + y
⇒ 3y – y = x
⇒ 2y = x
⇒ y = \(\frac{x}{2}\) m
∵ इकाई दूरी जाने में लगा समय = 6 min
∴ 1 इकाई दूरी जाने में लगा समय = \(\frac{6}{x}\) min
∴ \(\frac{x}{2}\) इकाई दूरी जाने में लगा समय = \(\frac{6}{x} \times \frac{x}{2}\) = 3 min
अत: नाव को पुल तक पहुँचने में 3 min का समय और लगेगा।

प्रश्न 11.
एक वायुयान दो मकानों के ऊपर से उड़ रहा है जिनके बीच की न्यूनतम दूरी 300 m है। यदि किसी समय वायुयान से एक ही दिशा में दोनों मकानों के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं, तो ज्ञात कीजिए कि वायुयान कितनी ऊँचाई पर उड़ रहा है?
हल

माना वायुयान A की ऊँचाई AB है।
तथा C व D क्रमश: दो मकान हैं जबकि CD = 300 m
माना वायुयान की ऊँचाई h है तथा BC = x
तब समकोण ∆ABC में,

प्रश्न 12.
एक हवाई जहाज जो कि 1000 m की ऊँचाई पर उड़ रहा है, पर स्थित मनुष्य उत्तर की ओर एक शत्रु की पनडुब्बी को 30° के अवनमन कोण पर तथा दक्षिण की ओर एक युद्धपोत को 45° के अवनमन कोण पर देखता है। पनडुब्बी और युद्धपोत के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल

माना हवाई जहाज की स्थिति A, पनडुब्बी की स्थिति Bव युद्धपोत की स्थिति C है तब प्रश्नानुसार,
∠ABC = 30°, ∠ACB = 45°
तथा AO = 1000 m (जबकि AO ⊥ BC)
समकोण ∆AOC में, tan 45° = \(\frac{A O}{O C}\)
⇒ 1 = \(\frac{1000}{O C}\)
⇒ OC = 1000
पुनः समकोण ∆AOB में,
tan 30° = \(\frac{A O}{B O}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1000}{B O}\)
BO = 1000√3
∴ पनडुब्बी व युद्धपोत के बीच की दूरी, BC = (BO + OC)
= (1000√3 + 1000)
= 1000(√3 + 1) m

प्रश्न 13.
क्षैतिज सड़क के ऊर्ध्वाधर स्थित हवाई जहाज से सड़क के दो क्रमागत किलोमीटर के पत्थरों के जो हवाई जहाज के दोनों ओर स्थित हैं; अवनमन कोण α और β हैं। सिद्ध कीजिए कि हवाई जहाज की ऊँचाई \(\frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta}\) km है।
हल

माना B व C दो क्रमागत किलोमीटर के पत्थर हैं तथा उनके बीच H ऊँचाई पर बिन्दु A पर हवाई जहाज है।
∵ B व C के A से अवनमन कोण क्रमश: α व β हैं।
∠ABC = α तथा ∠ACB = β
तथा BC = 1 km
समकोण ∆ADB में, tan α = \(\frac{H}{B D}\)
⇒ BD = H cot α
इसी प्रकार समकोण ∆ADC से,
DC = H cot β
परन्तु, BD + DC = 1
H cot α + H cot β = 1

प्रश्न 14.
एक झील के तल से h मीटर ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु पर एक बादल का उन्नयन कोण α है तथा झील में उसके प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण β है। सिद्ध कीजिए कि झील के तल से बादल की ऊँचाई \(h\left(\frac{\tan \beta+\tan \alpha}{\tan \beta-\tan \alpha}\right) \mathrm{m}\) है।
हल
माना PQ झील का तल व झील से h ऊँचाई पर बिन्दु A है।
बिन्दु A से बादल B का उन्नयन कोण ∠BAM = α
तथा बादल के प्रतिबिम्ब C का अवनमन कोण ∠MAC = β