Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.4
प्रश्न 1.
समानार चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार पर स्थित हैं और उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। दर्शाइए कि समान्तर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से अधिक है।
उत्तर:
यहाँ चतुर्भुज ABCD तथा ABEF समान आधार AB पर ई तथा समानार रेखा AB और CF के मध्य में है।
ar (ABCD) = ar (ABEF)
⇒ AB = CD [∵ ABCD समान्तर चतुर्भुन है।]
AB = EF
∴ CD = EF ……… (1)
⇒ AB + CD = AB + EF ………. (2)
तपा AF < AD (लाय सबसे लम्बी भुना है।)
⇒ BE < BC
∴ AF + BE < AD + BC ……… (3)
समी. (1), (2) व (3) से,
AB + EF + AF + BE < AD + BC + AB + CD.
अतः समान्तर चतुर्भुज ABCD का परिमाप > आषत ABEF का परिमाप।
प्रश्न 2.
पाठ्य पुस्तक में दी गई भाकृति में, भुजा BC पर दो बिन्दु D और E इस प्रकार स्थित है कि BD = DE = EC है। दर्शाइए कि-
ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆ABC) है।
क्या आप अब उस प्रश्न का उत्तर दें सकते हैं, जो आपने इस अध्याय को भूमिका में छोड़ दिया था कि “क्या बुधिया का खेत वास्तव में बराबर क्षेत्रफलों वाले तीन भागों में विभाजित हो जाता है?
उत्तर:
AM ⊥ BC खीचें।
ar (∆ADE) = \(\frac{1}{2}\) × DE × AM …….. (1)
ar (∆ABD) = \(\frac{1}{2}\) × BD × AM ……….. (2)
ar (∆AEC) = \(\frac{1}{2}\) × EC × AM ………. (3)
दिया है। DE = BD = EC
अत: समी. (1), (2) व (3) से,
ar (∆ABD) = ar (∆ADE) = ar (∆AEC)
है दिए गए हल से हम कह सकते हैं कि बुधिया का खेत वास्तव में तीन बराबर क्षेत्रफल में विभाजित हो गया है।
प्रश्न 3.
आकृति में, ABCD, DCFE और ABFE समान्तर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।
उत्तर:
हमें ज्ञात है, समान्तर चर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती है।
∴ AD = BC
DE = CF और AE = BF
SSS सर्वांगसमता से, ∆ADE ≅ ∆BCF
अतः ar (∆ADE) = ar (∆BCF)
प्रश्न 4.
पाठ्य पुस्तक में दी ई आकृति में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और BC को एक बिन्दु Q तक इस प्रकार बनाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करती है, तो दर्शाइए कि-
ar (BPC) = ar (DPQ) है।
उत्तर:
AC को मिलाया।
∆APC और ∆BPC एक आधार PC तथा समान समान्तर रेखाओं PC और AB के मध्य स्थित हैं।
∴ ar (∆ABC) = ar (∆BPC) ……… (1)
⇒ AD = CQ
तथा AD || CQ (दिया है।)
चतुर्भुज ADQC में, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानर है।
∴ ADQC एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ AP = PQ
और CP = DP
∆APC और ∆DPQ मैं,
PC = PD
AP = PQ
∠APC = ∠DPQ [कार्याधर सम्मुख कोण]
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से.
∆APC ≅ ∆DPQ
⇒ ar (∆APC) = ar (∆DPQ) ………. (2)
समीकरण (1) व (2) से,
∴ ar (∆BPC) = ar (∆DPQ).
प्रश्न 5.
पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य बिन्दु है। यदि AE भुजा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है, तो वाइए कि-
(i) ar (BDE) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)
(ii) ar (BDE) = \(\frac{1}{2}\) ar (BAE)
(iii) ar (ABC) = 2 ar (BEC)
(iv) ar (BFE) = ar (AFD)
(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)
(vi) ar (FED) = \(\frac{1}{8}\) ar (AFC).
उत्तर:
EC और AD को मिलाइए।
(i) माना ∆ABC को भुना = x
तथा BC = x
BD = \(\frac{1}{2}\) BC = x√2.
ar (ABC) = \(\frac{√3}{4}\) x² ……….. (1)
ar (BDE) = \(\frac{√3}{4}\) (\(\frac{x}{2}\))² ……… (2)
अत: समी. (1) व (2) से,
⇒ (∆BDE) = \(\frac{ar(∆ABC)}{4}\)
(ii) ED माध्यिका है।
⇒ (∆BDE) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆BEC) …….. (1)
यहाँ ∠DAE = 60° (∆BED समबाहु है।)
तथा ∠ACB = 60° (∆ABC समबाह है।)
अतः BE || AC
∆BEC तथा ∆BEA समान्तर रेखा BE तथा AC के मध्य में बने हैं।
ar (∆BEA) = ar (∆BEC) ……… (2)
समी. (1) से,
ar (∆BDE) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆BEA).
(iii) ar (∆ABC) = \(\frac{√3}{4}\) x²
तथा ar (∆BEC) = 2 × ar (∆BED)
= 2 × \(\frac{√3}{16}\) x² = \(\frac{√3}{8}\) x²
= \(\frac{√3}{16}\) ar (∆ABC)
⇒ (∆ABC) = 2 ar (∆BEC)
(iv) ∠ABD = 60° (∆ABC समबाह है।)
∠BDE = 60° (∆BDE समबाह है।)
⇒ AB || DE
अतः ar (∆BDE) = ar (∆AED) (∵ सांगसम त्रिभुजों समान आधार व समान्तर रेखाओं के बीच में हैं)
⇒ ar (∆BDE) = ar (∆FED)
= ar (∆AED) – ar (∆FED)
⇒ ar(BEF) = ar (AFD)
(v) माना ∆BDE की ऊंचाई ES है।
समकोण ∆ABD में,
AD = \(\sqrt{AB^2 – BD^2}\)
समी. (1) व (2) से,
ar (BFE) = ar (AFD) = 2 ar (EFD).
(vi) ar (∆BDE) = \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC)
ar (∆BEF) + ar (∆FED) = \(\frac{1}{4}\) × ar (∆ABC)
3 ar (FED) = \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC)
[∵ar (BFE) = 2 ar (EFD)] [भाग (v) से]
3 ar (∆FED) = \(\frac{1}{4}\) × 2 ar (∆ADC)
3 ar (∆FED) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆ADC)
3 ar (∆FED) = \(\frac{1}{2}\) [ar (∆AFC) – ar (∆AFD)]
3 ar (∆FED) = \(\frac{1}{2}\) [ar (∆AFC) – 2ar (∆FED)
4 ar (∆FED) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆AFC)
ar (∆FED) = \(\frac{1}{8}\) ar (∆AFC)
प्रश्न 6.
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और AD परस्पर बिन्दु पर प्रतिच्छेद हैं। वशाइए कि
ar (∆APB) × ar (∆CPD)
= ar (∆APD) × ar (∆BPC) है।
उत्तर:
खींचिए AM ⊥ BD तथा CN ⊥ BD
अन्य ar (∆APB) × ar (∆CPD)
= (\(\frac{1}{2}\) × BP × AM) × (\(\frac{1}{2}\) × DP × CN)
= \(\frac{1}{4}\) × BP × AM × DP × CN
तथा ar (∆APD) × ar (∆BPC)
= \(\frac{1}{2}\) × DP × AM) × (\(\frac{1}{2}\) × BP × CN)
= \(\frac{1}{4}\) × BP × DP × AM × CN.
समी. (1), (2) से,
ar (∆APB) × ar (∆CPD) = ar (∆APD) × ar (∆BPC)
प्रश्न 7.
P और Q क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के मध्य बिन्दु हैं तथा R रेखाखण्ड AP का मध्य बिन्दु है। दहिए कि-
(i) ar (PRQ) = \(\frac{1}{2}\) ar (ARC)
(ii) ar (RQC) = \(\frac{3}{8}\) ar (ABC)
(ii) ar (PBQ) = ar (ARC)
उत्तर:
∴ मध्य बिन्दु प्रमेय से, PQ || AC
(i) ar (∆PQR) = \(\frac{1}{2}\) ar(∆APQ) (QR माध्यिकाई)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × (ar ∆ABQ) (PQ माध्यिका है)
⇒ ar (∆PQR) = \(\frac{1}{2}\) × ar (∆ABQ)
\(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × ar (∆ABC) (AQ माध्यिका है)
CAQ माध्यिका है।
= \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC) ………… (1)
पुनः ar (∆ARC) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆APC)
(CR माध्यिका)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × ar (ABC)
= \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC) ………… (2)
समी- (1) व (2) से.
ar (∆PRQ) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆ARC)
(ii) ar (∆RQC) = ar (∆RQA) + ar (∆AQC) – ar (∆ARC)
∴ ar (∆RQA) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆PQA)
[∵ PQ माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × ar (∆AQB)
[∵ PQ माध्यिका है]
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABC)
(∵ AQ माध्यिका है)
= \(\frac{1}{8}\) ar (∆ABC) ………… (1)
∴ ar (∆AQC) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABC) ……… (2)
(∵ AQ माध्यिका है)
∴ ar (∆ARC) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆APC)
(∵ RC माध्यिका है)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × ar (∆ABC)
(∵ PC माध्यिका है)
= \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC) …….. (3)
समी. (1),(2) व (3) से,
ar (∆RQC) = \(\frac{1}{8}\) ar(∆ABC) + \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABC) – \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC)
= ar (∆RQC) = ar (∆ABC) [\(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{4}\)]
= ar (∆ABC) [latex]\frac{1+4-2}{8}[/latex]
⇒ ar (∆RQC) = \(\frac{3}{8}\) ar (∆ABC).
(iii) ar (∆PBQ) = \(\frac{1}{2}\) (∆PBC) ……….. (1)
(∵ PQ माध्यिका है)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × (ar ∆ABC)
(∵ PC माध्यिका है।)
= \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC)
ar (∆ARC) = \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC) ………. (2)
[भाग (ii) से
समी. (1) व (2) से,
ar (∆PBQ) = ar (∆ARC).
प्रश्न 8.
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB पर बने वर्ग हैं। रेखाखण्ड AX ⊥ DE भुजा BC को बिन्दु Y पर मिलता है। दर्शाइए कि-
(i) ∆MBC ≅ ∆ABD
(ii) ar (BYXD) = 2 ar (MBC)
(iii) ar (BYXD) = ar (ABMN)
(iv) ∆FCB ≅ ∆ACE
(v) ar (CYXE) = 2 ar (FCB)
(vi) ar (CYXE) = ar (ACFG)
(vii) ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG)
उत्तर:
(i) ∆MBC और ∆ABD में,
MB = AB (∵ ABMD वर्ग है।)
BC = BD (∵ BCED वर्ग है।)
∠MBC = ∠ABD (90° + ∠ABC)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆MBC = ∆ABD ……….. (1)
(ii) यहाँ ∆ABD तथा चतुर्भुज BYXD दोनों आधार BD तथा समान समान्तर रेखा BD तथा AX के मध्य ई।
अतः ar (∆ABD) = \(\frac{1}{2}\) ar (BYXD)
समी. (1) से,
ar (∆MBC) = \(\frac{1}{2}\) ar (BYXD)
ar (BYXD) = 2 ar (AM∆C) ………. (2)
(iii) ∆MBC तथा चतुर्भुज ABMN दोनों आधार MB तथा तमान समान्तर रेखा MB तथा NAC के मध्य बने हैं।
⇒ ar (∆MBC) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABMN)
2 ar (∆MBC) = ar (ABMN)
समी (2) से.
ar (ABMN)= ar (BYXD).
(iv) ∆FCB और ∆ACE में,
FC = AC (वर्ग की भुजा )
BC = CE (वर्ग की भुजा है।
∠FCB = ∠ACE (90° + ∠ACB)
∴ SAS सर्वांगसमता गुणधर्म से,
∆FCB ≅ ∆ACE
⇒ ar (∆FCB) = ar (∆ACE)
(v) ∆ACE सपा चतुर्भुज CYXE दोनों आधार CE तथा समान समान्तर भुजा CE तथा AYX के मध्य में हैं।
⇒ ar (∆ACE) = \(\frac{1}{2}\) ar (CYXE)
ar (CYXE) = 2 ar (∆ACE)
⇒ ar (CYXE) = 2 ar (FCB) …….. (3) [भाग (iv) से]
(vi) ∆FCB तथा चतुर्भुज ACFG दोनों आधार CF तथा समान समान्तर भुजा CF था GAB के मध्य है।
⇒ ar (∆FCB) = \(\frac{1}{2}\) ar (ACFG)
2 ar (∆FCB) = ar (EACFG)
समी-(3) से,
ar (CYXE) = ar (ACFG).
(vii) वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा की घात 2 के बराबर होता है।
यहाँ ar (BCED) = BC²
ar (ABMN) = AB²
तथा ar (ACFG)= AC²
यहाँ दिया है, ∆ABC में ∠A समकोण है।
अतः BC² = AB² + AC²
∴ ar (BCED) = ar (ABMN) + ar (ACFG).