Bihar Board 12th Maths Important Questions Short Answer Type Part 2 in Hindi

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Bihar Board 12th Maths Important Questions Short Answer Type Part 2

व्युत्पन्न का सिद्धान्त

प्रश्न 1.
त्रिज्या के संदर्भ में एक वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर को ज्ञात करें, जबकि विन्या r =5 cm.
उत्तर:
∴ त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल A है।
A = πr²
∴ त्रिज्या r के संदर्भ में वृत के क्षेत्रफल Δ में
परिवर्तन की दर = \(\frac{d \Delta}{d r}=\frac{d\left(\pi r^{2}\right)}{d r}\) = 2πr
जब r = 5 cm,
\(\frac{d \Delta}{d r}\) = 10π
इस प्रकार, वृत्त का क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर 10 πcm²/cm से हो रही है।

प्रश्न 2.
दिए गए फलन ‘f’ में दिखाएँ कि
f(x) = x³ – 3x² + 4x, x ∈ R.
R की ओर बढ़ रहा है ।
उत्तर:
दिया गया है
f(x) = x³ – 3x² + 4x
f(x) = 3x² – 6x + 4.
= 3(x² – 2x + 1) + 1
= 3(x – 1)² + 1 > OR के सभी interval में।
∴ फलन fR की ओर बढ़ रहा है ।

प्रश्न 3.
दिए गए वक्र y = \(\sqrt{4 x-3}-1\) के स्पर्शी पर बिन्दु ज्ञात करें जहाँ उसकी ढाल 2/3 हैं।
उत्तर:
दिए गए वक्र (x, y) के स्पर्शी का ढाल

वक्र के स्पर्श पर बिन्दु (x, y) = (3, 2).

प्रश्न 4.
एक आयत की लम्बाई ‘x’ जो 3 cm/minute की दर से घट रही है तथा · चौड़ाई ‘y’ जो 2 cm/minute की दर से बढ़ रही है जबकि x = 10 cm तथा y = 6 cm. तो निम्न में परिवर्तन की दर को ज्ञात करें। (a) परिमिति
(b) आयत का क्षेत्रफला
उत्तर:
आयत की लम्बाई x से घट रही है तथा चौड़ाई y समय के संदर्भ में बढ़ रही है।
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d y}{d t}\) = -3cm/ minute
तथा \(\frac{d y}{d t}\) = 2 cm/minute .

(a) एक आयत की परिमिति P है।
प्रश्न से,
P= 2 (x + y)
∴ \(\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)\)
= 2(-3 + 2)
=-2 cm/minute

(b) आयत का क्षेत्रफल A है।
A = xy
∴ \(\frac{d A}{d r}=\frac{d x}{d t} y+x \frac{d y}{d t}\)
\(\frac{d A}{d t}\) = -3(6) + 10(2) (जहाँ x = 10 cm, तथा y = 6m)
\(\frac{d A}{d t}\) = -18 + 20
= 2 cm²/min

प्रश्न 5.
रेखाओं का समीकरण ज्ञात करें जिसकी ढाल 2 तथा वक्र के स्पर्शी y + \(\frac{2}{x-3}\) है।
उत्तर:
दिए गए वक्र के किसी बिन्दु (x, y) के स्पर्श की ढाल
\(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{(x-3)^{2}}\)
लेकिन, दिया गया है ढाल = 2
∴ \(\frac{2}{(x-3)^{2}}\) = 2
(x – 3)² = 1
x – 3 = ± 1
∴ x = 4,2
जब x = 2 तो y = 2 तथा x =4 तो y=-2.
∴ वक्र जिसके स्पर्शी की ढाल 2 है। उसके दो स्पर्श रेखा है जो दो बिंदु (2, 2) तथा (4,-2) से होकर जाती है।
∴ स्पर्श रेखा का समीकरण, जो बिंदु (2,2) से होकर जाती है।
y-2 = 2(x-2)
y – 2x + 2 = 0
तथा स्पर्श रेखा का समीकरण जो (4,-2) से गुजर रही है।
y – (-2) = 2(x-4)
y – 2x + 10 = 10

प्रश्न 6.
दिए गए फलन f का उच्चतम तथा न्यूनतम मान ज्ञात करें।
f(x) = 3x² + 4x³ – 12x² + 12
उत्तर:
दिया गया है,
f(x) = 3x² + 4x³ – 12x² + 12
f(x) = 12x³ + 12x² -24x
=12x(x-1)(x+2)
f(x) = 0 जहाँ x= 0, x = 1, x = -2
f”(x) = 36x² + 24x – 24
= 12(3x² + 2x -1)
f”(0) = -12 <0 ∴ f”(1) = 48 > 0
∴ f”(-2) = 84 > 0
∴ at x =0,f का उच्चतम तथा न्यूनतम मान f (0) = 12 जबकि, x = 1 तथा x=-2 न्यूनतम बिंदु है।
∴ न्यूनतम मान जब x = 1
f(1) = 7
जब . x = -2
f(-2) = -26

समाकलन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का समाकलन ज्ञात करें।
(i) \(\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x\)
(ii) ∫ (x^2/3 + 1)dx
(iii) ∫ (s^3/2 + 2e^x – \(\frac{1}{x}\) dx
उत्तर:
(i) ∫ xdx – ∫ x^-2dx

(ii) ∫ (x^2/3 + 1)dx = ∫x^2/3dx + ∫dx = \(\frac{x^{2 / 3}+1}{\frac{2}{3}+1}+x+c\)
= \(\frac{3}{5}\)x^-5/3 + x + c

(iii) ∫ (x^3/2 + 2e^x – \(\frac{1}{x}\) dx
∫ x^3/2dx + 2∫e^xdx – ∫\(\frac{1}{x}\) dx
= \(\frac{2}{5}\)x^5/2 + 2e^x – log|x| + c

प्रश्न 2.
निम्न का समाकलन ज्ञात करें
(i) ∫sin x + cos x)dx
(ii) ∫ cosec x(cosec x + cot x)dx
(iii) ∫ \(\frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x\)
उत्तर:
(i) ∫sin x + cos x)dx
= ∫sin x.dx + ∫cosx.dx = -cosx + sinx+c

(ii) ∫cosec x(cosecx+cotx)dx.
= ∫cosec² x + ∫cosecx.cotx dx
= -cotx – cosecx + c

(iii)

प्रश्न 3.
x के पक्ष में निम्न फलन का समाकलन ज्ञात करें
(i) sin mx
(ii) 2x sin(x² + 1)
(iii) \(\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}\)
उत्तर:
(i) हम जानते हैं कि mx का derivative m है। इस प्रकार साबित mx = 1 साबित करें mdx = dt
∵ ∫sin mx dx = ∫1/m ∫sin t dt
= -1/m cos t + c = -1/m cos mx + c

(ii) 2x का derivative x² + 1 है
इस प्रकार x² + 1 = t साबित करें 2x.1 = dx = dt
∵ 2xsin (x² + 1 )dx
= ∫sin t.dt
= -cos t + c
= -cos (x² + 1 ) + c

(iii) √x का derivative \(\frac{1}{2} x^{-1 / 2}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) है |
इस प्रकार √x = t साबित करें \(\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot d x=d t\)
∵ dx = √2 + dt

पुनः हमलोग एक दूसरा substitution tan t = 4 बनाया।
साबित करें sec² t dt = du

प्रश्न 4.
ज्ञात करें ∫ x cos x dx
उत्तर:
∫ x cos x dx
= x∫cosx. dx – ∫ [ \(\frac{d}{d x}\)(x)∫cos x.dx ]dx
= xsin x – ∫ sin x dx
= xsinx + cosx + c

प्रश्न 5.
ज्ञात करें : \(\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x\)
उत्तर:
माना पहला फलन = sin^-1 और
दूसरा फलन = \(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
सर्वप्रथम द्वितीय फलन का समाकलन ज्ञात करेंगे।
i.e \(\int \frac{x d x}{1-x^{2}}\)
put t = 1 – x² तब dt = -2x dx

प्रश्न 6.
ज्ञात करें : ∫ e^x sin x dx
उत्तर:
माना I = ∫ e^x sin x dx
= e^x∫sin x dx – ∫(\(\frac{d e^{x}}{d x}\)∫ sin x)dx
I = e^x(-cos x) – ∫e^x(-cos x) dx
I = -e^xcos x + ∫e^xcos dx
I = -e^x cos x + e^x sin x – ∫e^x sin x dx
I = -e^x cos x + e^xsin x – I + c
2I = e^x(sin x – cos x) + c
I = \(\) ( sin x – cos x) + c

प्रश्न 7.
ज्ञात करें : ∫ cos 6x\(\sqrt{1+\sin 6 x d x}\)
उत्तर:
Put t = 1 + sin 6x
साबित करें dt = 6c

प्रश्न 8.
ज्ञात करें : ∫ \(\int \frac{\left(x^{4}-x\right)^{1 / 4}}{x^{5}} d x\)
उत्तर:

Differential Equation

प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) का सामान्य समीकरण ज्ञात करें।
उत्तर:
1 + y²
∴ दिये गये समीकरण \(\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\) से
\(\frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}}\)
समीकरण (i) को दोनों ओर integrate करने पर,
\(\int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}}\)
tan^-1 y = tan^-1 x + c

अवकल समीकरण

प्रश्न 1.
दिये गये अवकल समीकरण का क्रम और घात ज्ञात करें :
(i) \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) + sin (y”’) = 0
(ii) \(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\)
उत्तर:
∵ उच्च क्रम का derivative समीकरण में \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) है।
∴ इसका क्रम = 4
परन्तु घात परिभाषित नहीं है।

(ii) उच्चतम क्रम का derivative समीकरण में \(\frac{d^{2} s}{d t^{2}}\) है।
इसका क्रम = 2 और उच्चतम घात \(\frac{d^{2} s}{d t^{2}}\) का एक है।
∴ घात = 1

प्रश्न 2.
वक्र y² = a²(b² – x²) का अवकल समीकरण ज्ञात करें।
उत्तर:
दिया गया समीकरण y² = a²(b² – x²) …….(i)
Diff. w.r. to x
2y \(\begin{array}{l}
\text { b }\\
b
\end{array}\) = -2ax
⇒ y. \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = -ax…..(ii)
Again diff. w.r. to x
\(y \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d y}{d x}=-a\)
समी० (ii) और (iii) से,
\(y \cdot \frac{d y}{d x}=x \cdot\left\{y \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right\}\)

प्रश्न 3.
Family of curve x² + y² = 2ax से अवकल समीकरण बनायें।
उत्तर:
Given equation x² + y² = 2ax
Dift.wto x 2x + 2y.\(\frac{d y}{d x}\) = 2a
x + y\(\frac{d y}{d x}\) = a
x + y\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x}\) [समी. (i) से]
2x² + 2xy.\(\frac{d y}{d x}\) = x² + y²
x² + 2xy.\(\frac{d y}{d x}\) – y² = 0

प्रश्न 4.
हल करें : \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x² . e^y
उत्तर:
Given equation
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y + x² . e^y
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x e.^y + x² . e^y
या, \(\frac{d y}{d x}\) = e^y(e^x + x²) या, \(\frac{d y}{e y}\) = dx(e^x + x²)
या, ∫e^-ydy = ∫(e^x + x²) dx या, \(\frac{e^{-y}}{-1}=e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+c\)
या, ex + \(\frac{x^{3}}{3}\) + e,sup>-y + c = 0

प्रश्न 5.
हल करें : (x² – yx² ) dy = (y² + x²y²)ds = 0
उत्तर:
(x² – yx² ) dy = (y² + x²y²)ds = 0
या, (x² – yx²)dy = (y² + x²y²)dx
या, x²(1 – y) dy = -y² (1 + x²)dx

Vector Algebra

प्रश्न 1.
कोई दो सदिश \(\vec{a}\) एवं \(\vec{b}\) के लिए \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\) |
उत्तर:
प्रमाण-समानांतर चतुर्भुज ABCD लिया। माना कि A\(\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\) = \(\vec{a}\) तथा \(B \vec{C}=\vec{b}\)।
त्रिभुज के नियम के द्वारा,
विभुज ABC से,
\(A \vec{C}=\vec{a}+\vec{b}\)
अब समानांतर चतुर्भुज के विपरीत भुजा बराबर और समानांतर होते हैं।
\(A \vec{B}=B \vec{C}=\vec{b}\) और \(D \vec{C}=A \vec{B}=\vec{a}\)
फिर, त्रिभुज के नियम के द्वारा, .

विभाजन त्रिभुज ADC से,
\(A \vec{C}=A \vec{D}+D \vec{C}=\vec{b}+\vec{a}\)
अतः \(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)

प्रश्न 2.
सदिश \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}\) के दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करें।
उत्तर:
एक सदिश a के दिशा में ईकाई सदिश दिया गया है।

प्रश्न 3.
सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}\) के दिशा में एक सदिश ज्ञात करें वह परिणाम रखता हो।
Ans
दिया गया सदिश \(\vec{a}\) के दिशा में ईकाई सदिश है।
\(\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\hat{i}-2 \hat{j}) \quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\)
∴ सदिश 7 के बराबर परिणाम रखता है और के दिशा में है।
\(7 \hat{a}=7\left(\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j}\right)=\frac{7}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{14}{\sqrt{5}} \hat{j}\)

प्रश्न 4.
दिखलायें कि बिंदु A( \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) ), \(\vec{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\), C(\(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\)), समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
उत्तर:
A\(\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\)= (1-2)\(\hat{i}\) + (-3+1)\(\hat{j}\) + (-5-1)\(\hat{k}\) = –\(\hat{i}\)-2\(\hat{j}\)-6\(\hat{k}\)
B = (3-1)\(\hat{i}\) +(-4+3)\(\hat{j}\)+(-4+5)\(\hat{k}\) = -2\(\hat{i}\)–\(\hat{j}\)+\(\hat{k}\)
CA = (2-3)\(\hat{i}\) + (-1+4)\(\hat{j}\) +(1+4)\(\hat{k}\) = –\(\hat{i}\)-3\(\hat{j}\)+5\(\hat{k}\)
Further, more that
\(|A \vec{B}|^{2}=41 \Rightarrow 6+35=|B \vec{C}|^{2}+|C \vec{A}|^{2}\)
अतः त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) तीन सदिश हों और \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} = \vec{0}\) = 6 तो सिद्ध करें कि \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c} \cdot=\vec{c} \times \vec{a}\)
उत्तर:
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\)
\(\vec{a}\) के साथ बायीं ओर सदिश गुणन करने पर,
(1) का \(\vec{b}\) के साथ बायीं ओर सदिश गुणन करने पर,

प्रश्न 6.
सदिश \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) सदिश \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}\) पर हो तो सदिशों के Projection ज्ञात करें।
उत्तर:
सदिश \(\vec{b}\) पर सदिश \(\vec{a}\) का Projection दिया गया है।

प्रश्न 7.
दिखलायें कि बिंदु A(-2\(\hat{i}\) + 3\(\hat{j}\) + 5\(\hat{k}\)), B(\(\hat{i}\)+2\(\hat{j}\)+ 3\(\hat{k}\)) और C(7\(\hat{i}\)–\(\hat{k}\)) संरेख है।
उत्तर:
We have
\(A \vec{B}\) = (1+2)\(\hat{i}\) +2(2-3)\(\hat{j}\) + (3-5)\(\hat{k}\) = 3\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 2\(\hat{k}\)
\(A \vec{C}\) = (7-1)\(\hat{i}\) + (0-2)\(\hat{j}\) + (-1-3)\(\hat{k}\) = 6\(\hat{i}\) -2\(\hat{j}\)-4\(\hat{k}\)
\(A \vec{C}\) = (7 + 2)\(\hat{i}\) + (0-3)\(\hat{j}\) + (-5-5)\(\hat{k}\) = 9\(\hat{i}\) -3\(\hat{j}\)-6\(\hat{k}\)


अतः बिंदु A, B और C सरेख है।

प्रश्न 8.
समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका एकांतर भुजा दिया गया है सदिश = \(\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}\)
और \(\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}\)
उत्तर:
यदि किसी समांतर की दो आसन्न भुजाएँ \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) हो तो क्षेत्रफल = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)
\(\vec{a} \times \vec{b}\) = \(=\left|\begin{array}{rrr}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & 1 & 4 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right|\) = \(5 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}\)
\(\vec{a} \times \vec{b}=\sqrt{25+1+16}=\sqrt{42}\)
अतः क्षेत्रफल = \(\sqrt{42}\)

त्रिविमिय ज्यामिति

प्रश्न 1.
दिखाएँ कि बिन्दु A (2,3,-4), B(1,-2,3) तथा C (38, -11) रैखिक है।
उत्तर:
रेखा का दिक् अनुपात जो A तथा B को जोड़ता है । 1-2,-2-3,3+4 अर्थात् -1,-5, 7. – रेखा का दिक् अनुपात जो B तथा C को जोड़ता है =3-1,8+2,-11-3 अर्थात् 2, 10, -14 है।
यह स्पष्ट है कि AB तथा BC का दिक् अनुपात समानुपाती है। अत: AB, BC का समानान्तर है लेकिन बिन्दु B, AB तथा AB दोनों का उभयनिष्ठ है। इसलिए A, B, C, रैखिक बिन्दु है।

प्रश्न 2.
यदि एक रेखा के 2,-1,-2 हो तो इसका दिक् कोज्या ज्ञात करें ।
उत्तर:
दिक् कोज्या =

प्रश्न 3.
रेखा के दिक् कोज्या ज्ञात करें जो दो बिन्दु (-2, 4, -5) तथा (1, 2, 3) से होकर गुजरता है।
उत्तर:
हमलोग जानते हैं कि रेखा के दिक् कोज्या जो दो दिये गये बिन्दु P(x₁,y₁, z₁) तथा (x₂,y₂, z₂) से गुजरते हैं।

प्रश्न 4.
सतह या तल का समीकरण ज्ञात करें जिसका कटान बिन्दु x, y तथा : अक्षों के साथ क्रमशः 2,3 तथा 4 है।
उत्तर:
माना कि सतह का समीकरण
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) …………… (1)
यहाँ a = 2, b = 3,c=4
a, b तथा c का मान समीकरण (i) में रखने पर हम पाते हैं कि सतह का समीकरण
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\)
या, 6x + 4y + 32 = 12

प्रश्न 5.
दिखाएँ कि रेखा \(\frac{x+3}{m}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}\) तथा \(\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{z}=\frac{z-5}{5}\) एकातलीय है।
उत्तर: x₁,y₁, z₁
यहाँ x₁ = -3,y₁ = 1,z₁ = 5, a₁ = 3,b₁ = 1, c₁ =5
x₂ = -1,y₂ = 2,z₂ = 5,a₂ = -1,b₂ = 2,c₂ = 5
अब सारणिक पर विचार करने पर
\(\left|\begin{array}{ccc}
x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\
a_{1} & b_{1} & c_{1} \\
a_{2} & b_{2} & c_{2}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0 \\
-3 & 1 & 5 \\
-1 & 2 & 5
\end{array}\right|=0\)
एसलिए रेखा एकतलीय है।

प्रश्न 6.
बिन्दु (2, 5, –3) से दिये गये सतह की दूरी ज्ञात करें।
\(\vec{r} \cdot(6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})=4\)
उत्तर:
यहाँ \(\vec{a}=2 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}[/latex, N = [latex]6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}\) तथा d= 4 ,
इसलिए, बिन्दु (2,5,-3) से सतह की दूरी दिया गया है ।

प्रायिकता

प्रश्न 1.
एक पासे के उछाल में 3 के गुणज आने की घटना E तथा सम संख्या आने के घटना F हो तो जाँचें कि E तथा F परस्पर स्वतंत्र घटना है।
उत्तर:
एक पासे के उछाल में n (S) = {1, 2, 3, 4, 5,6}
E = {3,6}
F = {2,4,6},
E∩F = {6}
∴ P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
P(E) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
P(E∩F) = \(\frac{n(E \cap F)}{n(S)}=\frac{1}{6}\)
∵ P(E).P(F) \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)P(E∩F)
∴ E तथा F परस्पर स्वतंत्र घटना है।

प्रश्न 2.
यदि P(A) = \(\frac{7}{13}\), P(B) = \(\frac{9}{13}\) = P(A∩B) = \(\frac{4}{13}\) तो P(A/B) = ?
उत्तर:
दिया गया है –
P(A) = \(\frac{7}{13}\), P(B) = \(\frac{9}{13}\) = P(A∩B) = \(\frac{4}{13}\)
\(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
∴ \(=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}\)

प्रश्न 3.
एक परिवार के दो बच्चों में कम से कम एक लड़का हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों बच्चे लड़के ही हों ?
उत्तर:
माना कि लड़का तथा लड़की के लिए संकेत क्रमशः b तथा 8 है ।
∴ Sample slape (S) = { (b, b), (8,b), (b.8), (8.8)}
माना कि E = दोनों बच्चे के लड़के होने की घटना
F = कम से कम एक बच्चे के लड़के होने की घटना
∴ E = { (b, b)}, F = {(b, b), (g, b), (b, 8)}
∴ E ∩ F = {(b,b)}